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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 B^vRP e"Q  
~B;.HAj  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  VRx;FH6  
a 2VS> /K  
　　1、三角函数本质： rL"S/C'OV  
1-n`Wr|  
　　三角函数的本质来源于定义 ln\vX  
!ia|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %f *WA  
5%" ,](  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1\b ..Wo  
%~JEd&T  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： r] Bd  
a]<M,g|  
　　推导： Qi $^1o  
7[= UR1`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 2Z?ck  
DimRf@]*Y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7!Q_f F  
qCEMjRKU3n  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) a<K<6}IMn  
t^Q6q3C6q  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }'6 j%1  
%W'kW {n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ~U5B=gg/  
7[Q[o}0AC  
　　[1] ? #!e&/S~  
&aum<#.\  
　　两角和公式 hZ'-!a_  
{EbMSzb  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB f[jE<[  
fQ4 \4or2'  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  bR<Ix^n  
+^AAcaOx  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yOc,0j>B]  
m}wW2R  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB LnOP!"fa9  
%`YXDX`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ^TI=q; @Q  
%#q: lv8&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (ELbFk-{43  
rj*81J n  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <.Yc.%3j7  
xs 6jH0=  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nC_0J;2  
BKYB_o  
倍角公式 p)+!I %:  
1ua D^#\I  
　　Sin2A=2SinA•CosA @.E+@]<r@  
l OE.v@}t  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D:4UOp=  
2/].43"Z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ] QqQLn<5  
HGjhrP7js  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）   nB+]:k  
c@GsdAC  
三倍角公式 l{h1IqR  
;6F.=B-}BQ  
　　 'MpKH(Lr  
U@--&wYQ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0}Ki,I6GL  
ULZu7?c  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Mn'w7HIR  
4>vD,9S=D  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) VmIk16   
(Q/.Q]hH  
三倍角公式推导 Ox29+U+ Y|  
{?THEP+S0  
　　sin3a a~{mL_WQ  
vG:BOl  
　　=sin(2a+a) ?1}wQT$  
EDN #z93  
　　=sin2acosa+cos2asina -%$VN*A  
0}`YC3N  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S%L;zWWD  
0= C|I4f*T  
　　=3sina-4sin³a woxvzvD4PJ  
b+W3*N H  
　　cos3a ,M -Bima  
_X_{d ]   
　　=cos(2a+a) 4@@auZ] w  
{=*J !  
　　=cos2acosa-sin2asina )8;hAq&Dj  
]x|<l>!  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa PY!+/'U^  
+\aay=lh  
　　=4cos³a-3cosa j. c^N fM  
Eae3u us_~  
　　sin3a=3sina-4sin³a Ke1\xzKJI  
Ev Cwo  
　　=4sina(3/4-sin²a) }tTeFr E  
6t\xP4jU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 5#-+25X  
jk$U@   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ulz0|PG'  
;e| yC6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1h;7Wm>C  
2C*q-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +p;/% /  
"~QWki~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n('PKRg}_  
@ifc%)8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Bu7oy M8  
H8az%2b!gv  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [Z+c/c58!$  
1"J4?o|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2Y: ; L`1  
H"4p A,  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &>ZHLO}r  
4d^z)G-8  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) GZ#2*;  
z'K`R&R#Em  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (FqJW.5Gr  
q4C`[ ]Go  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) m$mdL;[z  
W$f2I~C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %=H_;-*  
!,v7:%Nd  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3Vb 3 #{  
g>aJWh  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ) wjY,.B8  
+Cj1 ;}1m  
　　上述两式相比可得 "S3Q}   
HjE 6\Hb  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \9#i()ESs  
bFH<'  
半角公式 m2 SJ3CUkg  
-vK$zREo  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9PCoRG  
P#K*Gm;   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. DZq$b`{  
nN T;I/  
和差化积 '66H1Ersie  
8wA !8/N  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M; Y=AH>E  
Zs.YAQXz'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I|yvwXW  
`&fm8  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6[ c<;  
+$,Uq  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )+VIJFH  
"Ulh5  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) V^0:MaQ@  
+C?E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) XWY5t50tG  
@e<>K  
积化和差 0SbWz~  
#PA A \9  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] R*9'6{rxx  
'Mi;d- k  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] - g'Ir7S  
-0S+XF;c  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] g }fceA  
RVaCf)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 80O / r  
D*L*:9<  
诱导公式 qwrbM@gs  
d,'qg@ ^  
　　sin(-α) = -sinα ^.Dg7(yI  
Qx7-rm7  
　　cos(-α) = cosα .6.G]3X(>  
&j7`v@W  
　　sin(π/2-α) = cosα 1"&6 5FMM  
:(!R3x#s  
　　cos(π/2-α) = sinα b /P:$  
=39A3)[])  
　　sin(π/2+α) = cosα Q38STMYVmG  
a3"!Eye)-  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2 Gi| :e\  
AVXAPsN  
　　sin(π-α) = sinα k~dx_4j  
=5]iB4  
　　cos(π-α) = -cosα s\#B(s5`  
-.6J<HG5~q  
　　sin(π+α) = -sinα naX>Xp5  
6EqZ+b8  
　　cos(π+α) = -cosα 5 EARj8+  
UQ CXakS  
　　tanA= sinA/cosA %?zoV.U`w  
{[Oo@*xf/  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα WcK7>VL#6  
%Bm;ef"  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1PmwqCU2A  
%B{kuo?_  
　　tan（π－α）＝－tanα .MTK, q&  
Oah \~Oq  
　　tan（π＋α）＝tanα .P,JdW9b  
ce"+ /  
万能公式 Q<.^ v  
^F(^kE  
　　 e~ZU-EF  
n.B~m"  
其它公式 OFp)/oBO  
@yEpq"K CC  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 :\aK? H  
el(!"Ka?  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 P&B7A>oIM  
{_5&4,  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \[sIe5'#  
hO $4";u3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2\@3t|{  
a&, 0hH(  
　　对于任意非直角三角形,总有 D 3+QWu  
k%iwT?d`?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }DVW@@_Wp  
trHCuQ`(c  
　　证: un;DyA\  
'P-JOWl  
　　A+B=π-C j{Im\m)_V1  
])!)(+*#H  
　　tan(A+B)=tan(π-C) j[ {gktHp  
pD:Wo5Ro^|  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Q3r#B-}NP  
g%,ULQ  
　　整理可得 ya\Ec 8Y  
j"!jYbUAJ>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {nKT60K  
eP}O:{  
　　得证 Y6zM] K  
I't%-}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ER3Fz5r}  
htP")orC  
其他非重点三角函数 Ms!s4(*  
, aLGgiZa  
　　csc(a) = 1/sin(a) M6p!K   
d\!8&Oe?i  
　　sec(a) = 1/cos(a) s`v]K}|{  
^3gwL  
　　 ZeEy:#O+  
(,_G(~6}Y  
双曲函数 , Ff2iY  
\v'IZrp  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 y'lQ&KM,  
A?R"<D  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 B|v3"I`fh1  
g%?t2rQr  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 0h.yxW3)-  
P9?%<~A  
　　公式一： ^|.3"h@  
=.=@QF7{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： E3}NS..  
rO n<Y*PvN  
　　sin（2kπ＋α）= sinα qC!vR  
\v}vM</Bq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα uXi5.z 7  
ti5sNx:s2$  
　　tan（kπ＋α）= tanα [c2[?o)*  
&AW8XP  
　　cot（kπ＋α）= cotα Cp/,9(7{2  
F`q\9gY  
　　公式二： /;kZTW<6  
sY`?>@Tr  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： )p"k1r`k  
q/p<$Vo #  
　　sin（π＋α）= -sinα (a /eM&  
~ cmXh  
　　cos（π＋α）= -cosα 03%m&O  
K`] M`S  
　　tan（π＋α）= tanα <u~9crR/  
wj{~1;>w^%  
　　cot（π＋α）= cotα ~p2Aa  
|nn4E!Z2  
　　公式三： xJU3v'#s)  
`:WH@A=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： tx{;JX2>  
k &?t  
　　sin（-α）= -sinα _AyKbp Pa*  
]_<,s_. U  
　　cos（-α）= cosα `OX>iP2Tw  
]$#E  
　　tan（-α）= -tanα #P^*U"Yu  
`16s Raj  
　　cot（-α）= -cotα |'pus]  
8A_n@a  
　　公式四： I<K5=on*Su  
=;{C4c(w  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ?` X%gsL  
lP:nnFDwnI  
　　sin（π-α）= sinα xjm}e9N1  
y<fkbNZ"  
　　cos（π-α）= -cosα cBNRZb-vR  
v/"Ka  
　　tan（π-α）= -tanα r+hSE* 3X  
HXhn_-n  
　　cot（π-α）= -cotα kP>fuh  
mf>*(`ip  
　　公式五： [3xdAb&#  
V1vShqA  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 9(l(v Q,  
%9[\ ]w1X  
　　sin（2π-α）= -sinα SYxcSv.{y  
u YxAY  
　　cos（2π-α）= cosα 3q39+WVU  
}Y@v6JZ-  
　　tan（2π-α）= -tanα {j<\F!mEZf  
Ki'xB3-q  
　　cot（2π-α）= -cotα Z$\?2F  
9to*C>a .  
　　公式六： 1;&Nyc GV  
DJX} ;e  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !YpHjw  
%:g+i#  
　　sin（π/2+α）= cosα 8(58Rk)*  
%uX]~"  
　　cos（π/2+α）= -sinα qIGH~:Wz<  
A<W<=t6 p  
　　tan（π/2+α）= -cotα K@z,,{  
xWtTEt  
　　cot（π/2+α）= -tanα A'8X|Fj  
Fu=9 8^5'  
　　sin（π/2-α）= cosα >S<"|d'>  
/>X~tWgVpk  
　　cos（π/2-α）= sinα X]}8-u  
ynZsq~y  
　　tan（π/2-α）= cotα 9A/"8N3  
`:di| s]|  
　　cot（π/2-α）= tanα WR6J-_ aP  
AC~tW2+}=  
　　sin（3π/2+α）= -cosα {JG*e]9  
myPel  
　　cos（3π/2+α）= sinα W=Q]hL,s8  
oR,d\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα g48zq)VFmN  
j %y'j&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @KZr=~(i  
"gu!"Vw  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6<kUv9S| )  
 J bxq,b  
　　cos（3π/2-α）= -sinα aTB`: ~ht  
hC/[F<"  
　　tan（3π/2-α）= cotα n>l8 n  
FSgjr\Kd  
　　cot（3π/2-α）= tanα >xL)kv'0~  
>C'RSn,Og  
　　(以上k∈Z) ?[D'V N-R  
M#~+'R  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5qcp?(  
\7W<{8/$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *iW[*  
{P%dd5Bp  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <BrU&  
OobkK10  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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