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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 =Fc+5DeF  
)B$1m6"Z2  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. <3gsE\5*  
<v$o?>EP  
　　1、三角函数本质： n> MbZD{  
:tQe c  
　　三角函数的本质来源于定义 \je8&)5  
i 8*=F   
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 sm{gn- '  
ZpA3]y  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GbEu]l5=#  
gqvMtOY.j]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： XFu"w-  
aE?K7tn2  
　　推导： N--^n2  
v&z}_ulxg  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vN O:d  
!!v,92FWn  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) f(#n'<I9[  
9LI2A;_w]  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) et_ uj8  
] 8LGdv3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 `HKt!7B  
kc^  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） r<R'Rk[<  
W]{L7-e=  
　　[1] za nw %  
y4?aC0r  
　　两角和公式 19t-&n  
-,U;CDQ/>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Wr.0')6b  
( E2[&~F2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Oxfh *"  
QX@!#~a  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB UC5:!RCE  
v8}6>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 'yt9/i  
_NI Gga2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,l2xg9_3o  
ZuiL%3M  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 4=bsRsPE  
YejP#uT5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \@A5$hll  
=bqel)[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *Ui }L!f  
Y%]9wD;  
倍角公式 !TF0ek  
~/{fdz?y  
　　Sin2A=2SinA•CosA H;6a>\  
[~O,u3xF  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Am S0 5Km  
1Zc&_d e  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） BYpD61Hb  
<l/C.(C  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） +3Us1xBW  
|r(LiA  
三倍角公式 {]}-ZO =]$  
{h5v1B%'G  
　　 g*~`2[(  
=/#D~&(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Rq>C8.  
Z=DAahoJ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) wJ$B$]Bfr  
|E8H}iIt  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 7 jsU;Q  
-HG/:"CL  
三倍角公式推导 wg-QI"'  
ml:|MFK?E  
　　sin3a D3 SvT{!  
"v)S16,D]  
　　=sin(2a+a) jsp!` 8pQ  
)W^]UHq($  
　　=sin2acosa+cos2asina 0u1 g  
Lw. .tm+1  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina mPz* RTD  
,-*XT>sF  
　　=3sina-4sin³a El,,mL2  
,x6]"??*=  
　　cos3a 0L(u5i*5!  
L B=UBcPS  
　　=cos(2a+a) eac9OYu  
h:mjjmUf3-  
　　=cos2acosa-sin2asina Z2A|Imr C  
ap0 },[ y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa NVP l'sV  
&,IzU   
　　=4cos³a-3cosa f]p8f}b  
=>P[8i  
　　sin3a=3sina-4sin³a >9R'  
6_rHJ9.ul  
　　=4sina(3/4-sin²a) a~yvwA  
b!i<8h  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] {UVQ,47}g  
@LXz7wCk  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 27%&8pyq4  
x $Z?Z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +^<:\m Z$  
\sx_{mXI6{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] M9mK= #:Ql  
-6\qpk\ -  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 3!YLy8  
4yUER}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa N Nb&G%~  
p)|8Hr0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =]VUNOa  
f DMii  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ww):xZX  
{^];>M04  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) YL> PnWu  
mlps@l  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) HqN4$}  
ewB; G|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} !~g{,1p/  
,rTj9F|Jj0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) f=$y"kY  
<aG pe6#  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q(A /z( ^'  
*4]%wh!E<  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wO;+Oa7UH  
#W5p[7Nn  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Ch {{  
$jq3I9'  
　　上述两式相比可得 # xg.KxS/  
6m!y-5i  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j. 1 ZAEk  
[#b}L*}  
半角公式 L|Zxtmcz  
n:<:{'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Y9zQp!&(  
.erkwq  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3^HQ}{ {w  
L#;?Ob/C  
和差化积 Z&EN   
o!cbwg 9  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JcJ3c9Y2  
AFO 8%&  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'c (p[:  
;P v;+~rrE  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *'5IL[gvUO  
FCiHy )g>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `$rd"  
Y6POI`YO@  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -X&(sCH(  
s g@r`C{  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) VF .4uVT  
38u!b>D%r  
积化和差 ZrGk#q:{  
{y@nY WA  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] JaO)Pz3\>  
q} N9dg  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y-uV(8M^  
fpqJ qXD  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -|(MtFeP  
 S!<R-1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] b1N(juv-n  
O3 m;2?pC  
诱导公式 {4gp%<^P  
:&ztY5<  
　　sin(-α) = -sinα YB>7n2qY  
;XY v{S.  
　　cos(-α) = cosα qhsP6}*B  
fku@~lw  
　　sin(π/2-α) = cosα =%QfPllC3Z  
G 9]/!;K  
　　cos(π/2-α) = sinα *( 0||5y  
N?x']{S  
　　sin(π/2+α) = cosα l0\K/z9iR  
tJ%'nEa  
　　cos(π/2+α) = -sinα cf%*1LMJ  
}@!`/L;6  
　　sin(π-α) = sinα 8q{wN]Ur  
]@[:#4%  
　　cos(π-α) = -cosα %M4i d`7@  
U=a.1lg[l  
　　sin(π+α) = -sinα E[n{;Z[OBa  
(KcF($I))^  
　　cos(π+α) = -cosα RFS-  
O1#1+K1  
　　tanA= sinA/cosA W/U6\SeD  
&>eC!}C ^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ="TVEB  
q*7glb_WD  
　　tan（π/2－α）＝cotα [iS "OgR  
ZZ1%F@{:  
　　tan（π－α）＝－tanα o1Aazzh  
? UX&B2  
　　tan（π＋α）＝tanα r^d"CbY,"  
vX-Gao3  
万能公式 \IF :N:{K  
$=+, e|  
　　 =na(%V  
*R e7:I=Q  
其它公式 m{*| <*Z  
54kYRJ0~Q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }uZl\}1  
;'izA'fqwP  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9B0>Gx  
vw!Uk E;  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (tf9wj0n  
W/&50(`"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }3zx6xh5  
wc/Gxj|  
　　对于任意非直角三角形,总有 c\?]I~$Yx  
b|{/%`{+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dFX GlC:_  
n;oJ,mjxX\  
　　证: {$\ J$X  
i+VV H>x  
　　A+B=π-C (33|Q~M8R  
*o:}!(@/6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 0FOj1[-|  
O .>5iQrky  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) s\o r<J-Ob  
_l%% k  
　　整理可得 ]v8w2y  
tJx[ly<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j<UuMG\6y  
CO%* [P  
　　得证 7 |71N  
=XS\s5Pql  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ZdL Ye6  
 > V TU{J  
其他非重点三角函数 x"-a}:  
0A 1<F  
　　csc(a) = 1/sin(a) o\4QP2# v  
#.vBNp-o-  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5&NmG35  
Z efJ  
　　 VH*i5:hz  
\Rr%W@@  
双曲函数 ~7x-B]*~  
 Q@;"KK  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 e3gc  
oD@29<  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,s@& /:6~l  
{jcJ&;}l  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) U^|p |C  
#$B."z  
　　公式一： Z7V-[/V}  
 g)4 +P  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $hYa9dCP>~  
|4)h`|5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα c A:=M  
Q_\QtQdG  
　　cos（2kπ＋α）= cosα )aP k  
W~FxzwWxv  
　　tan（kπ＋α）= tanα <qfSk o!  
 @JCV^k  
　　cot（kπ＋α）= cotα .A>r#W}A+  
59`-, b  
　　公式二： n_A%^7  
SedKbDuL  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]vfRDE$a  
E&jn(L_v>  
　　sin（π＋α）= -sinα T.y{='J.,Z  
^b$ >"  
　　cos（π＋α）= -cosα pzr'  
7*l2a1  
　　tan（π＋α）= tanα LQ*i|c[/5  
Vt[fq_8-  
　　cot（π＋α）= cotα 5I'voE  
:C'D'T=L  
　　公式三： Mf>p"ML  
T=BxQ&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： i%7,]@>LZ  
;]wpt0S&   
　　sin（-α）= -sinα jmj^ ojKr  
P! 6 M*  
　　cos（-α）= cosα ;r~`cL&o  
4![euIj  
　　tan（-α）= -tanα Ms15p9wo9  
a <z$sgQY  
　　cot（-α）= -cotα  Pf{LVH  
?hfsfqw?m  
　　公式四： Ylus^D.h  
@/E+g3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： D24W>JTd 2  
Jpejm(n  
　　sin（π-α）= sinα (-ELO*.xS  
O Lfs+  
　　cos（π-α）= -cosα IClEE>U  
L>aID.;C  
　　tan（π-α）= -tanα uiQFpu  
fMEbp ew;W  
　　cot（π-α）= -cotα QO ;MY  
1rB/Zs8;r  
　　公式五： Dp#]3d,1L  
q*VCIn<  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： G"({] sY  
vq3 =~c@  
　　sin（2π-α）= -sinα 'w ,!Q_`*  
.(ylRor-a  
　　cos（2π-α）= cosα 9t[Qx>/-I  
WOxoB|Z=x  
　　tan（2π-α）= -tanα aHWNe]}-$  
FxfJ  
　　cot（2π-α）= -cotα q K;@p#F&  
_:hgL_gwLc  
　　公式六： ~h}=0Z!3  
P|^5$FY  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： (@q,5  
)zS##w@7/  
　　sin（π/2+α）= cosα dg8$WNnf  
o X 'a em  
　　cos（π/2+α）= -sinα +5}QR3C  
wEM&y[E  
　　tan（π/2+α）= -cotα tCR d_J  
["$tcHl~  
　　cot（π/2+α）= -tanα QxlakN2Dq  
FYZ[ $lc  
　　sin（π/2-α）= cosα En|EQ>a-  
:k"!UwW@  
　　cos（π/2-α）= sinα ( z8'b eU3  
D DYF^ 59  
　　tan（π/2-α）= cotα cjSHG;C  
]CC7w~.O  
　　cot（π/2-α）= tanα mkp?0;  
Wz$uq[-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα QW S.  
1QG@ln  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;Lu#G  
;k!jlH^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #t)->IUUY  
:@e3R}^r  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 9O O?aH>  
/koWjg^hN  
　　sin（3π/2-α）= -cosα rp+h;?+  
?jH)cK   
　　cos（3π/2-α）= -sinα L].XVax  
^*k9|lg(  
　　tan（3π/2-α）= cotα NfN!E C  
iB9rog  
　　cot（3π/2-α）= tanα } Kp/FX4  
^C\.qV%  
　　(以上k∈Z) xca1A6  
sU@2t"u/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 vW<~k/e  
Jb.m U%<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = N7E VTFST  
uJ<n7, m  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |Xt !)F_9  
&v}_ HRrP  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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