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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 fQJ+3^c  
.>5q]H  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;M= .M1H  
]D9V/3q[e  
　　1、三角函数本质： ;}O#hE$M  
w+pEXjB`#X  
　　三角函数的本质来源于定义 l*<`*aJdh:  
!X>E)\gg&~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {;0Q 4LBY  
I`L"'G:1w  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 u*{ I$?]  
u:^$}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "jMp&W\  
i9 *#H"5  
　　推导： n;Jy"jb  
\&-p{"")(x  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 sX1$~p]`"  
Dr5 dL  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m U55$7  
9H{$=  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) i&e5XDL'V  
F>W?rDndm  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0a6ox|c  
^<AMx#:fbx  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） eR| CUy ?  
*G?-+OeQ5  
　　[1] f:gOjwk(A  
%jsS fn  
　　两角和公式 <}" W^cK?  
2r4_ !tj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s q'fwLS  
t Y#iKT*0~  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4 >D7;,Pc  
}5uAoMh\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB I|}<:0  
i:I9, j.  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \}&jhrz:[,  
e-D`4 -}%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ` %=)z>  
$cC ??6*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9NR T  
of& NZ1h  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Nc/J%Ixj}  
B@e.+[TQ/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) P\KC}-i-cQ  
'vfiK}6  
倍角公式 -%^Vao* lX  
E.~-nE  
　　Sin2A=2SinA•CosA YAeV<,/$  
L D1neruQ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {dRP:IX !  
1C2@qnp  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） (_j /`LIc  
Ll{iPB$D  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） EDv{_-p'[  
'gh@q(V[   
三倍角公式 .*HQTbVp{  
~b]_dmCkgz  
　　 =+Q-xT~  
)7WQc !  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Q6zskG .(  
'Ny\6hMZY`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jT%O=m+#n  
J ves4O  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p0yM #  
I\\sn4i%ej  
三倍角公式推导 "r:Vh$ as  
tAVO+I-  
　　sin3a \sk2c&;  
Er ={ Jn=  
　　=sin(2a+a) tZws||zbv  
6@y 6  
　　=sin2acosa+cos2asina r#~ML,tp  
mxSHGTd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,%eg *E  
RD\0(IQ~~  
　　=3sina-4sin³a l\Zl EQ6O  
\ ;UFz  
　　cos3a ^6I,xf.$`#  
Bz B[pA&ba  
　　=cos(2a+a) 0a.?LAFZ  
s`0%0qHWh  
　　=cos2acosa-sin2asina 0-Xs`Fgi  
fM4xZd`S  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa mL1AMqc  
_qID({!.  
　　=4cos³a-3cosa :pp@&8bG  
HS!(GCrY  
　　sin3a=3sina-4sin³a AR=}@+B  
YL2*FtC  
　　=4sina(3/4-sin²a) @H$?7Hv_  
;gXHl7YR.E  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Lxq[!5d$  
}E/%w?$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) BwB]"-F  
H+ jMV  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Sy.A$:\j  
7,,K^ j0:  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ~q,6x#GwQ  
=(+|cB03P  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {Bp U'o  
 `Tp Qm*c  
　　cos3a=4cos³a-3cosa U_'H]pwS*&  
@C aX?~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) UGaVX]}  
fVxD}a7Q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2) q;,doh  
%))Sir0  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Rg #z M go  
^,^.:D0hQ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) n'< oU(]  
+A1C%Yp  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} FS3- RO+  
`Yh"ad^]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) vU^6h`  
FDO 8PEu  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4>ndlL7A  
Q)JTq1P4L  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] \-/c#]y##  
X~Lp:vTR)  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) e__g{@  
4$q@\  
　　上述两式相比可得 8W`NbG  
-%+YKhC~s  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) aW'DY>m;,)  
/G:^[J  
半角公式 O`a1s\38  
!5NBT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2q\LR_Q)  
ipw4\SoL  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. OS5JF bY  
R4snSr  
和差化积 $x <VC  
WH>TBwx  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  &uA=Rr&  
9"Wtt4*w3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TYfU@.  
~9G.C3,>=.  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \S||N)}  
qLpTKf8u  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5pl \Xtj]  
^pM`Lks{O  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) B }:Vn"(  
2 lY iJo  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?DSn,VU'0)  
ON xF'o  
积化和差 >HNzS7-Zx  
<t@wJn`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] {Y~& }&'  
o .TwvM G  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] a.W|-A&  
 Va+/N %  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ukpq?;<6zA  
G?/92A^E  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 0fFzx~O0  
x~37rvHtE  
诱导公式 |@~| h  
3<j ng   
　　sin(-α) = -sinα ;=*qQ#J k  
TW2>=&  
　　cos(-α) = cosα 0`met30  
+5\CF %/  
　　sin(π/2-α) = cosα O^P#/6t  
R _ :)a{G  
　　cos(π/2-α) = sinα zJJcOjgu  
GX'OXvg4y  
　　sin(π/2+α) = cosα zoU,eSc"@[  
R%vnrO*  
　　cos(π/2+α) = -sinα -x2,6 WF=#  
LQBc[EQR  
　　sin(π-α) = sinα a dazd)  
x'|CcYXV$  
　　cos(π-α) = -cosα sIKoN0M  
?wC xza  
　　sin(π+α) = -sinα bId-{EEk  
17z^;3mZb  
　　cos(π+α) = -cosα w`d]/  
CMdD}4  
　　tanA= sinA/cosA @|Iyi4E=[0  
J:W(:j^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7]uaF+ yU  
Ib=};Q1B  
　　tan（π/2－α）＝cotα -!wsP?eEC|  
ojg7{Y'i<  
　　tan（π－α）＝－tanα vXbW<}+D  
*; r  fG  
　　tan（π＋α）＝tanα !l) y}  
v*^On1|d  
万能公式 u%rO'oee=  
DkpDS4R  
　　 ,[Ug A  
.!~pOi  
其它公式 ~;%I,Qg  
edYRwzD.#  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8_X3{Up  
(:ABvm6-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 bt@FtVr}D  
J&H7o#T  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [dItX+0  
TJ>d^rO  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 BVA5cf   
0V#Vk9ACR  
　　对于任意非直角三角形,总有 ]0{BydCx  
sAM|G  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t$h^z X  
(5K9+@#  
　　证: !4?y#]1y  
n+gN8'd  
　　A+B=π-C XqC_+ \  
"}oSY<@8  
　　tan(A+B)=tan(π-C) k*}~L-4 Sy  
(NJkY`  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) cPv%YA  
@*'R|f>%  
　　整理可得 SZb\pDB_(  
U4MW)5urA~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC </*Zcs;  
5oyfMhp  
　　得证 ?{ }h#3  
=o<6D1yg!{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 jooYZzn~4  
-X-'GqwN%  
其他非重点三角函数 }I(>/qas  
jTqFw<g_tb  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;cq;"Fz~  
!958O&rb  
　　sec(a) = 1/cos(a) *Qs@aWy <  
&eX(M }  
　　 N~cGU%f5  
<gWl9,o.  
双曲函数 I;\F>a@Zka  
Lso9at\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2  Ef[{Yt%o  
{1`@g,6B  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >1>m.l  
.I?vF${nh  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) q9vT]E ;  
!~ppVp  
　　公式一： { p9S'1  
j/-u,IS r  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 9D=>wt  
d+`KJ~HJ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα yf~g*w)w/j  
e'N^rb7 sh  
　　cos（2kπ＋α）= cosα PO&:$}o  
ChzOfs   
　　tan（kπ＋α）= tanα 4j/KFg>  
U${b+i,m  
　　cot（kπ＋α）= cotα |uv1_XbD  
(EH02Lj  
　　公式二： b}BwbA#S5  
9eih?g?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [W7=Mw  
k<Z4kbR5W  
　　sin（π＋α）= -sinα 1slnk/m  
9#aD 8<!B  
　　cos（π＋α）= -cosα ^1V`]OK  
U$ y-uXq?  
　　tan（π＋α）= tanα LuMw^u  
 liT)o.  
　　cot（π＋α）= cotα C+>.],L  
>!TOTr4p4  
　　公式三： 1+ o+]NW  
pS4N;cX"N  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _A&IwK7}  
=kB,/6[`"  
　　sin（-α）= -sinα [(/V{c=B  
``3"N9$  
　　cos（-α）= cosα ]#_#  
H;(qV(}3  
　　tan（-α）= -tanα Dd>B) HL<  
[+I"YWeF  
　　cot（-α）= -cotα 3J36 ]-Zp  
"h ?9tB  
　　公式四： !O&'Cw8  
lUY4FC aUf  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2 t 4@7  
vCGaY]r_  
　　sin（π-α）= sinα 3QGIa`Un  
z-)+w=`0z  
　　cos（π-α）= -cosα ^WK:u|8  
"8'~I_R.=N  
　　tan（π-α）= -tanα 59[v5q|  
.Q kv7w5B  
　　cot（π-α）= -cotα A%!UZ%BL  
*)x-L r\  
　　公式五： 6r&o~| 2-3  
r5( 4f  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： mpizy;7+  
}\[ygpN\  
　　sin（2π-α）= -sinα PUHp'l$l!  
(t8/Ppu  
　　cos（2π-α）= cosα w*TF^{*z*  
M=lU8,  
　　tan（2π-α）= -tanα _]o@ r$?`P  
IJ}f94k  
　　cot（2π-α）= -cotα GmL^`etlm  
4.{/+M?;  
　　公式六： =R$S[|TD  
uU^N#Z   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： QhLP_S  
;p >4>c  
　　sin（π/2+α）= cosα AS 2h:(  
NOR|KhNC  
　　cos（π/2+α）= -sinα h@m!7\ZU  
B=y4k}  
　　tan（π/2+α）= -cotα *cPnpWsgUV  
=ADj;  
　　cot（π/2+α）= -tanα -\!FQG\C <  
}-AA2  
　　sin（π/2-α）= cosα d}{Sfo V[;  
/ ?!6/q4;  
　　cos（π/2-α）= sinα @?P7Mju  
Vio#MAl5*!  
　　tan（π/2-α）= cotα RE {:db-a  
x`[NFWt  
　　cot（π/2-α）= tanα 8-!M,18cu  
:{#hWoA #R  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0\iUKd?  
`t@ jXz  
　　cos（3π/2+α）= sinα $\1 s9N5  
|5mMVH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 6 Y  
XVf:tt9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Tn` ' c;  
gm`/L#KM  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #}}v2[  
~g 9;0yk  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y[e@PiZ`3  
h8=)Nx  
　　tan（3π/2-α）= cotα kA)2G>W  
n.cP.PYGwL  
　　cot（3π/2-α）= tanα rg GXuw   
2F`ghU}  
　　(以上k∈Z) !^pIp1ji  
2EO95=\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6c9-pHSD  
<P i-_O  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = o`+uDjue+  
172.,P_s  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } oJ13A&jsD  
?G:^9DGUZ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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