日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8Utwl +tO  
n+.?~j%:A]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .oN+yd  
na9<b (  
　　1、三角函数本质： |)K1m=XR  
C\2&fe4.;  
　　三角函数的本质来源于定义 30kk\%@ n  
5zs{O[]  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 F7p R+Y  
A>hLP(&h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 D+2Ia  
vq6~R)BWb  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： MvH9WT  
7";7iNq  
　　推导： O5$yJ5M%0  
XDHsdxsa  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~U MiXZ  
rH- h#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _mfIY4j v5  
*Bk  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) `LIhe^2  
9t Aaw 3(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5[Lyheu  
bw6:Y"*M<  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） c.<`q,  
e?YfUZWO)8  
　　[1] ,r,O)%z  
DkzpE~  
　　两角和公式 jv/-Yb  
J; );L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9R<u/ruA  
3K! .`8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  q^)zTg *  
xn8W,,U  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB YyEE2  
6TIoB6Q0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Q8@Cr^ c  
byf;@*yM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) H'I!aR jg  
#j7$&Gn8S  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) RT_BP3(`  
i`5U8TU  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -F9%bC^  
Xnsasu V  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8?KC4)}}  
E>5@WGY_B  
倍角公式 \1)WES mw  
{em{hqRc  
　　Sin2A=2SinA•CosA A%[S+;Gm  
E\ &/T9\)  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 0{xqZUPe_  
G948z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） hCv_c)2My  
M<x^#2 X  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） hW$\U@`V  
q;twB<I  
三倍角公式 K=h{u'(nF  
(g> %Z0w~s  
　　 ("nCJ&&f  
NOA|[&'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =+fOfQH  
SckGX(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) EyTq`e@H  
6]7 .29  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) QJJzM,X\4  
bQBEjmA_  
三倍角公式推导  B4[iWP  
Xo#cxDcgD.  
　　sin3a uiFx*8*_  
(y][]\5Y  
　　=sin(2a+a) 3)N B 8tQ  
(}YeI8`ep  
　　=sin2acosa+cos2asina i. q{{q  
XKa5<.i)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Ev-Pz~  
l v Xr&69  
　　=3sina-4sin³a %Cc6[  
1d8C]3d  
　　cos3a HO;>]&uyo  
YS cB'l  
　　=cos(2a+a) =^)1#C~'  
Iuu?h("<  
　　=cos2acosa-sin2asina Rz.!DAZ  
y4W}_iD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa P bB/79Z  
6ou2UuLi  
　　=4cos³a-3cosa ~ppN]'n  
$~8pn#`gB  
　　sin3a=3sina-4sin³a Nq!MFff&"  
}v>7-B  
　　=4sina(3/4-sin²a)  wVk<~  
xm/<TFk5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]7d#r$^R&  
pPqqlXs  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) oOB7mR?  
/#qk%wY(  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) -P3; &phy  
86+gcB%}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] RTmVY8Xd  
R#]5 }ZM  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?g-=7'4  
sDgS+Bzp'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -09hh+t`  
i9p_]Kfk  
　　=4cosa(cos²a-3/4) gRxYIJ 8D  
s9O<M<aiJ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] =eG*]hap  
gL -V+n~<?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "c\r7F#G  
!x}#<'y  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 75 & C t  
_|2L_fG2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ##j0  
&oC]X|s  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]I2%t]iV  
'D %l;Pl  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 74g=Y,  
kz @AA,  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =e[Bz6:yd  
W; NKxo  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Rd>R&b;  
erKFmB>8h  
　　上述两式相比可得 a"t>;o@0  
c=r>^x;c  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) mR;=_t/4A&  
qy}jaaS-  
半角公式 F4(b, m9qL  
pn/%!0  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); " VN>}/W  
%y_ RNmf  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. KWTul`Q  
N&>H/KH  
和差化积 9[VU1w8  
:>RC9O9  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7k| K ui  
H2K_;a,{]Z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |0W"1M~6w  
Q}B~'kA2  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F0>iuU  
\2F"fSp}!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] C+*c=t=[,  
BErYN}1~r  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tcig33N h  
6#/W':o?;5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .`H+2x  
?ge}TBa"  
积化和差 9820"c  
Z?)qKh[  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] BGOZIelO  
c +)3T #4  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] UO;pC2dE  
Q}}2M %1  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Y2AjXo1l  
S/sKuV37B  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P-OKzyk N  
/d-W[sd  
诱导公式 qj_GZ  
iNK Pd  
　　sin(-α) = -sinα *uVb'VCS  
^*YUbTO  
　　cos(-α) = cosα O\JXk  
AS9R/(z  
　　sin(π/2-α) = cosα 54 \XF  
_ +HK*T  
　　cos(π/2-α) = sinα :uz++\D6  
xWv 1gPF  
　　sin(π/2+α) = cosα l+]xe,z  
qMxa)J  
　　cos(π/2+α) = -sinα :OIk~3  
=.vy DOR  
　　sin(π-α) = sinα r^3]74^N  
g<\*{Y[n  
　　cos(π-α) = -cosα 4 3V$^G  
9WH&`zy  
　　sin(π+α) = -sinα 90G VBX  
gV3N$[R)  
　　cos(π+α) = -cosα [i+pGC|  
eY^Jn"l<%  
　　tanA= sinA/cosA VjGDGc 0  
*7_24e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #gC`JD|6  
`K {f$8a  
　　tan（π/2－α）＝cotα s,z qhZ_  
qE~DtkPg  
　　tan（π－α）＝－tanα p}Snl/r  
.R.ae2'  
　　tan（π＋α）＝tanα QtFOXk)  
R~e7YKG5  
万能公式 2o$?0.  
We}b#U  
　　 [ZwU>Uw0  
N a#GEE"  
其它公式 vy :Gl+N[2  
N,U(}B  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 k,o sbku  
x S evZC3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 r9.DV$*  
gZ't_lB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 J-lhx/4C  
d FKO[]x  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Qowz@  
.UMGM !1>  
　　对于任意非直角三角形,总有 S%mS|eLo  
K ^~V4 1@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iePF(P3m(  
v AN8n|;5  
　　证: &lfi(-  
`f9:M%w  
　　A+B=π-C )N H{35/-  
Bz)k,:R$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ${ya[ ~E  
_!j9{[SP  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U7|"m*[  
.=f/r d  
　　整理可得 vu"mJs  
("\D6Dvjn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >?Qg04[o  
3mAH=c  
　　得证 x96+v/N  
b4~Ghny"  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ?N ?U  
ltUw|#  
其他非重点三角函数 lK]]n_-U-  
2LtH|[h  
　　csc(a) = 1/sin(a) gX!ii+  
},}_+ h#$g  
　　sec(a) = 1/cos(a) tCR"LW  
#Mm{%QuG  
　　 Eo2l /Mgu  
, %`dXA  
双曲函数 _Nh^MW  
'Z_gDE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 nD?B7]0  
=.U:!RQm  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >z %  
< #-J! h"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?N`GF/9  
`"?D1d5DA  
　　公式一： K- @_fj  
N"[!s>  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： jS':o+   
?4FS?..4l  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 3sf3w>b.H  
bmBCz$qn  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1ZZZ^zr!"  
W(:w4t  
　　tan（kπ＋α）= tanα ulw28  
% 5xyO[D  
　　cot（kπ＋α）= cotα P DGJ\A   
 wgU!  
　　公式二： &"' Rdy  
cl\69^!7N%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ZD@Y1 L;@  
]$r_*4(E  
　　sin（π＋α）= -sinα -G:D)-  
o%]D4:  
　　cos（π＋α）= -cosα $+ey\281U  
=&VH|QK  
　　tan（π＋α）= tanα #uQ&HAz  
XaK{\,(FP[  
　　cot（π＋α）= cotα h0 #S[  
ro(\{ -3!  
　　公式三： '1SQmQ`?  
o={ c"  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： wK 8|i|<  
h> |&cB  
　　sin（-α）= -sinα 'i`0{!+  
cT^D& Y' /  
　　cos（-α）= cosα +ZV(t>UZ  
0)n&yl  
　　tan（-α）= -tanα K0 GNhouC  
p)LV"L"\L  
　　cot（-α）= -cotα }HI3w00'w  
XEeIP7@J  
　　公式四： 9oZS@f  
x2*'u9}\%~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： SC bn[S|&  
mfYxI#CZ  
　　sin（π-α）= sinα b?FD] N  
:p^m]5LXE  
　　cos（π-α）= -cosα WCo66z:]R1  
q.f#v MU  
　　tan（π-α）= -tanα pm-7Aso  
sg"(XM  
　　cot（π-α）= -cotα ->\X2! 62  
(+CKRrMso  
　　公式五： &^+z!iF  
HC k`'if  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： JisdpOR  
?J:Jb?  
　　sin（2π-α）= -sinα 3ikqC)){  
;IoR%|V>  
　　cos（2π-α）= cosα ksW?ZAXdj  
;T41'{J  
　　tan（2π-α）= -tanα m1q8</;N  
po#iG!&l  
　　cot（2π-α）= -cotα KYMQ3/ uT  
z.C._~lZ  
　　公式六： LA W5u`~  
7&LH<*5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： gs?v.P0  
ZZ vwY*C  
　　sin（π/2+α）= cosα <BQ{*.A_3  
'&lRxh")yY  
　　cos（π/2+α）= -sinα S(}S L`@  
m6YZ 3  
　　tan（π/2+α）= -cotα vNX?wb[e  
}36, %  
　　cot（π/2+α）= -tanα 0]LZ5E!kv  
qc^tP}I  
　　sin（π/2-α）= cosα [6|o7zev  
CIT>t5=U<  
　　cos（π/2-α）= sinα };{m@^  
X\&ZIs^ g  
　　tan（π/2-α）= cotα 2g95} 0  
>X*'79U  
　　cot（π/2-α）= tanα V[ Ea'<#  
'MrnJTuJk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [!WQG Jp  
gzG>-%g^  
　　cos（3π/2+α）= sinα v(d4]{Se  
h]c7RU&&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα o'K!&_ixH  
xP.V8Ip{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mG]+ kDt   
F|_ylxB,  
　　sin（3π/2-α）= -cosα pE]5 7  
II5GWv  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <vWm6JB*  
IY"ht"99  
　　tan（3π/2-α）= cotα P35jX8~:4  
C`"F;Q  
　　cot（3π/2-α）= tanα sO*^0C8V"  
[zC1U<?.  
　　(以上k∈Z) eL(jK-w  
_2db6,&  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 k'>uZa  
vB=%t]2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = e|Nb8"  
)#$5% &A=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %}&p5xP5~  
C8efA~j  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15554) |  收藏