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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O;QaSxdc  
ON 0DKA  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $TF; vglj  
,o4"{ lR  
　　1、三角函数本质： g~_Ez%4d  
l`.]#=  
　　三角函数的本质来源于定义 n i ;RTj  
X3P"q'f  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9IrxQX]j!  
!:m}`x  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 "z}|+f  
sllJ|q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8[^"W#S9  
A*L#-t'7  
　　推导： LwK%u;  
1D? %/@  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4yMM8~-}y  
i-=g(5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) lEh|W@.  
iN_]6O* H  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -csgaD{_(  
lQ~EuJ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )F6\{6C,  
Sz=Rf#L  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） PSv+^#6  
G!CEQ7,(e  
　　[1] %eB2G!OA0=  
2t l%8Rw  
　　两角和公式 yBT( ux  
m'.Y7 Z$@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB L*9r%=9  
[L%J7*s;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  }i{1BTJP:  
X;',``ag"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB lHzLPkTi  
BAOc{wk!  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4Cb F\T  
@\Z OL!T_  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ? geQT)  
(%aquNjS  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) o'nQN(b"  
;td8+mIc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  C_0LPwnkY  
m(#jq  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) /! *co:kP#  
Z)/k]'@;  
倍角公式 *q$T  
X@;($  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^n._ &jQ  
=#d;M!"A  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 S2UsBUc4  
#COG  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 3h4Oo60\]  
~(VWd+^"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） L"qxxt2<  
@;9cPog   
三倍角公式 1 EN>f  
T2ItZkC5  
　　 jW!J8l[  
k?1K i]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 16c{v}3  
jR[Da\hp]|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) eEt;Mv)X  
y)@\Pc  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) -W4C~QI  
NZ? uZX  
三倍角公式推导 b6[FE%)Gr  
QL\g")[hk  
　　sin3a 2/}<&Mu1C  
z5h! goa3  
　　=sin(2a+a) crCwjaoBq  
**L?x{9  
　　=sin2acosa+cos2asina * }1U  
GNCm9ABU6  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?19d=n7@  
D 'DaE!QJ9  
　　=3sina-4sin³a /=bUc1s(   
EDxRKf;6  
　　cos3a u1fjgQ{  
78A -u\w  
　　=cos(2a+a) 0gTwYm%Mh  
2s$F]S  
　　=cos2acosa-sin2asina Me2(=._~w  
8(}  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa oTHAgvJ  
fK21JGQz  
　　=4cos³a-3cosa x9u)m I  
QS izy\/dA  
　　sin3a=3sina-4sin³a a.AEw-:P  
 m/:0 b&O  
　　=4sina(3/4-sin²a) ZxoF[%6f  
Q@B%v]=<  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] k2Z}v%t1  
})d/?s  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) P]1-e@C_;  
f?d`@-C  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :X?pEN)  
25c}3;8O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] H9T'xGy  
O,N#5C  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) & &hl>sUX  
\D~p[S2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ]`|B[ l*\  
[;+#>Va  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Tw/;qkX  
;h*DEk;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] M1Z92{Fo  
'!9/\:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) X(L& 1[  
D uKvHdSn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) MNd_ tzm  
w53FPU~Dfd  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f xFEc.  
_v_"<Pb6)  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {&Y3 EO5 $  
xHtPGp9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] IYh,hoVs  
>&`OhaI4?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] mzslX?9  
ZqpCl?K<  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) f c5lmZ[  
nTp\.D_z  
　　上述两式相比可得 Oq6 3OA l  
Z(wd'  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]fQ} U  
dvJIb ).  
半角公式 %W@}*  
=a"S$-6q/  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :TYah40X  
1S32\ H`j  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. UAtY5Th/  
y ?H   
和差化积 .]@;V.hU  
leHP.1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Uq9'"+%u  
T}B_a&Tit  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $fm# J0  
za H}R!xt  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] S#:wb py<  
 , 2%/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /6+yG_<  
BGxuJVGpm8  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) V%:T){ss  
\$A>I291V  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) I?6Y#_Z{  
@H I17;^  
积化和差 |uF*IF)o  
l]&`7^+O  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] IV^Vx3r :  
aO0d) _r=S  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] jp[H]cD?W  
iv#7H  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Jwr[;vO  
.0@C820N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] u1n8gH *  
5@)>bJK0'  
诱导公式 OEd v- si.  
ujE6J1RIP  
　　sin(-α) = -sinα V a!m<V5  
,{ub7m t  
　　cos(-α) = cosα \t'2=  
O S{uM  
　　sin(π/2-α) = cosα U/C8cQ|Z  
R@HY#HuRNx  
　　cos(π/2-α) = sinα W(sLh#w5  
VV x&C]  
　　sin(π/2+α) = cosα C9pBnC!  
QLm1"nT:8  
　　cos(π/2+α) = -sinα HR0Dxc_H  
Y =wbpk2"  
　　sin(π-α) = sinα [.F#mC{:k  
XX+5cP4(  
　　cos(π-α) = -cosα %lr3M]g  
.f0.Qx/OQ  
　　sin(π+α) = -sinα `[ "-^02  
!fe7m`QUx  
　　cos(π+α) = -cosα {*6ig)a*  
 = zys  
　　tanA= sinA/cosA .0t=O1d;%  
B% ODx]ky  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R>EQqJ 2`  
<\R2{8G  
　　tan（π/2－α）＝cotα t$Dndl}W{  
*>~G!>)G  
　　tan（π－α）＝－tanα rMm%t (S,  
,Tw>7Jd>  
　　tan（π＋α）＝tanα .7fObJ  
4~?HvQ-8  
万能公式 R(P4A )R  
isZGO{# %  
　　 _3^UdaPywG  
&}%-]"_  
其它公式 LtOvhy$Y  
,>X:&6T]M)  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 f5 W4$;B  
mj(]UFn;T  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ~]:'YB%  
9q /SU*5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 J2_|4?1-h  
Qd?JP"<u  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7e/^u #x  
H"ZAK  
　　对于任意非直角三角形,总有 `bNI7$.$  
l*uo'0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #CBjjQtJ$  
Uy4s6#b?4  
　　证: {=z\ -C  
ac" GW:P{C  
　　A+B=π-C x*UJ1  
,UnP+kR&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Q2&{M_H  
&o`"}W  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V'SfJ  
Zt9K'S_{  
　　整理可得 i+EMF   
Z&L]%I?Hx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RpU,MXk=D  
C $|_#z  
　　得证 % '8E$%C  
tt(qMemMT  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 I,`}2i  
&t]L bkL|  
其他非重点三角函数 [~qgdEbJ=  
2dQ1  
　　csc(a) = 1/sin(a) }a= o<W.O  
L rhtU>`  
　　sec(a) = 1/cos(a) nUOA>@  
. .i(Hd_.  
　　  )s`pB  
"Lc* | ]wh  
双曲函数 ?,X%<3PH  
8XVv}o  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 rglH~o1  
OaHSMG,U  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 X [AQ]0-  
[ (_(]8[  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) *Rl~8>W@  
UrC<?8G)  
　　公式一： 578Z5;HO5  
.UX{<<p-~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： voEk-QJz  
6LWFIcC\Z>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα #DLG#}:  
tZUEy  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Rh; W0Ua  
(u,^Vy!Yg  
　　tan（kπ＋α）= tanα 6C\fWe~KW  
8A43= EG  
　　cot（kπ＋α）= cotα tMoFU!s:  
BFBlJ$n0  
　　公式二： LgxtJ0\s  
?!0{.rQd  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： tv#G{  
 F,w\`]d  
　　sin（π＋α）= -sinα k-&+Re(  
62S+jri_X-  
　　cos（π＋α）= -cosα e>$dqK.ld  
q#)_i9Hh7  
　　tan（π＋α）= tanα t4x<r]b  
~6d(DX4K  
　　cot（π＋α）= cotα {FmqUM5W  
/"}rMD?!  
　　公式三： e8SUX  
&E+G t(  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： RAq`ZA(-A  
8e*})b}j,  
　　sin（-α）= -sinα 3OcW+,<  
=9zp ?}h  
　　cos（-α）= cosα crZSED  
<q bl3|2=  
　　tan（-α）= -tanα \O}8zZ+  
+Hq4=  
　　cot（-α）= -cotα U.X~QjD$p*  
6"jIvv'  
　　公式四： oTr$o  
&$!38m,{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9`r|H7&52  
{` %&  
　　sin（π-α）= sinα ~[+f` zpo`  
G:`y m{  
　　cos（π-α）= -cosα \Uy P_,  
p.skn0XoH  
　　tan（π-α）= -tanα BX,.7an  
sN)/!v  
　　cot（π-α）= -cotα -vT]6TVxu{  
50Xp@;YW  
　　公式五： sv0vS)zOx  
&.=!!RC\Y  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： LRk$yp?   
Pa@  8E  
　　sin（2π-α）= -sinα Dj\~#Xc#  
L:~ [(&P  
　　cos（2π-α）= cosα QQco(@  
l-)MDnR!  
　　tan（2π-α）= -tanα %lSoCMFiK  
RY) yZ,nw  
　　cot（2π-α）= -cotα tP {INWd  
=|K< )D%R6  
　　公式六： V8;!U\&  
02FtxhW>  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @Q! 0(~h  
oecDE7l  
　　sin（π/2+α）= cosα gKX|?Qeh  
C3vizmmG  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~3[rh=_'A  
DcT#-z|H  
　　tan（π/2+α）= -cotα ofT~AY=&p  
G &\Ik=p  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,3*~HpW v  
J3do{oZ\  
　　sin（π/2-α）= cosα /UxqK3  
Qe1 y@}2JO  
　　cos（π/2-α）= sinα Xtj\a8f  
d=d`uM  
　　tan（π/2-α）= cotα B|]'c+HVq  
$'i{(<fa  
　　cot（π/2-α）= tanα o'Zh9FcYV  
X8WvZ>mPh  
　　sin（3π/2+α）= -cosα  H]41iZ4  
WYEG  
　　cos（3π/2+α）= sinα m-NzU /Nq  
\$k|_-#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα uu$ m&A^[  
ypyq.Ax  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;?Sc0Y+  
{3V"ZnsO  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 'iLfAQnfK^  
C @(_]t9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα MM/\l j6M  
P*([Bo9l  
　　tan（3π/2-α）= cotα All9V]`oR  
EIz[y40;&  
　　cot（3π/2-α）= tanα z gJ}+  
[ mfE(8e  
　　(以上k∈Z) {|\ 7)  
J'N?47  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 +8k.:  
i(ksF  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $uCz2c]  
IjZM/ n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } x~"4F a  
4G{0Z  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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